薄可测算子代数是直接有限的

设 $\mathcal{M}$ 为 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上的半有限 von Neumann 代数，配备忠实正规半有限迹 $\tau$，$S(\mathcal{M},\tau)$ 为所有 $\tau$-可测算子构成的 ${}^*$-代数。设 $S_0(\mathcal{M},\tau)$ 为所有 $\tau$-紧算子构成的 ${}^*$-代数，$T(\mathcal{M},\tau)=S_0(\mathcal{M},\tau)+\mathbb{C}I$ 为所有形如 $X=A+\lambda I$（其中 $A\in S_0(\mathcal{M},\tau)$ 且 $\lambda \in \mathbb{C}$）的算子构成的 ${}^*$-代数。我们证明 $T(\mathcal{M},\tau)$ 中在 $T(\mathcal{M},\tau)$ 内左可逆的每一个算子事实上在 $T(\mathcal{M},\tau)$ 内可逆。这是 Sterling Berberian 于 1982 年关于 $\mathcal{B} (\mathcal{H})$ 中薄算子子代数定理的推广。对于 $Q=Q^2\in S(\mathcal{M},\tau)$ 的奇异值函数 $\mu(t; Q)$，我们有对所有 $t>0$ 均有 $\mu(t; Q)\in \{0\}\bigcup [1, +\infty)$。这给出了 Daniyar Mushtari 在 2010 年所提问题的肯定回答。