无界算子代数上的矩阵代数

设 $\mathscr{M}$ 为作用在 Hilbert 空间 $\mathscr{H}$ 上的 $II_1$ 因子，$\mathscr{M}_{\textrm{aff}}$ 为与 $\mathscr{M}$ 关联的闭稠定算子的 Murray-von Neumann 代数。令 $\tau$ 表示 $\mathscr{M}$ 上唯一的忠实正规迹态。借助 Nelson 的非交换积分理论，$\mathscr{M}_{\textrm{aff}}$ 可等同于 $\mathscr{M}$ 在测度拓扑中的完备化。本文中，我们证明 $M_n(\mathscr{M}_{\textrm{aff}}) \cong M_n(\mathscr{M})_{\textrm{aff}}$ 作为含单位元的有序复拓扑 $*$-代数同构，该同构延拓了 $M_n(\\mathscr{M}) \to M_n(\mathscr{M})$ 的恒等映射。由此，秩恒等式与行列式恒等式的代数机制在此情形下适用。作为 Kadison-Liu (SIGMA, 10 (2014), Paper 009) 所讨论的 Heisenberg-von Neumann 谜题的进一步推进，可得：若存在 $\mathscr{M}_{\textrm{aff}}$ 中算子 $P, Q$ 满足对易关系 $Q \; \hat \cdot \; P \; \hat - \; P \; \hat \cdot \; Q = {i\mkern1mu} I$，则其中至少一个不属于任意 $0 < p \le \infty$ 的 $L^p(\mathscr{M}, \tau)$。此外，$P$ 与 $Q$ 各自的谱点集必为空。故此谜题可重述为如下等价形式——是否存在 $\mathscr{M}_{\textrm{aff}}$ 中可逆算子 $P, A$ 使得 $P^{-1} \; \hat \cdot \; A \; \hat \cdot \; P = I \; \hat + \; A$？这表明，任何求解该谜题的策略都必须本质地涉及对 $\mathscr{M}_{\textrm{aff}}$ 中算子的共轭不变量的研究。