关于 Murray-von Neumann 代数——I：拓扑、序论与分析方面

对于可数可分解的有限 von Neumann 代数 $\mathscr{R}$，我们证明在 $\mathscr{R}$ 上任一忠实正规迹态的选取都按 Nelson (J. Func. Anal., 15 (1974), 103--116) 的意义产生相同的测度拓扑。因此，称 $\mathscr{R}$ 的“该”测度拓扑是合理的。作出此观察后，我们将测度拓扑的概念推广到一般有限 von Neumann 代数，并称之为 $\mathfrak{m}$-拓扑。我们注意到，$\mathfrak{m}$-完备化过程以函子方式给出 Murray-von Neumann 代数，并将其内在地描述为带单位的有序复拓扑 $*$-代数。这使得无需借助 Hilbert 空间即可研究抽象 Murray-von Neumann 代数。此外，它明确了 Murray-von Neumann 子代数的恰当概念，以及元素谱与点谱的内在性，独立于其所在的 Murray-von Neumann 代数。在此背景下，我们证明了正规元 Borel 函数演算的良定义性，并利用它及 $\mathfrak{m}$-拓扑中的逼近技术，将许多涉及有界自伴算子的标准算子不等式推广到 Murray-von Neumann 代数中（无界）自伴算子的情形。在代数方面，Murray-von Neumann 代数已被描述为有限 von Neumann 代数关于其相应非零因子乘法子集的 Ore 局部化。我们的讨论揭示，除此之外，它们的描述还具有基本的拓扑、序论与分析层面。