环形收缩与 $\Gamma$-可辨 $\Gamma$-收缩

一对交换的 Hilbert 空间收缩 $(T_1,T_2)$ 被称为环形的，如果存在多项式 $p \in \mathbb C[z_1,z_2]$ 使得其零集 $Z(p)$ 在双圆盘 $\mathbb D^2$ 中定义一个可辨簇，且 $p(T_1,T_2)=0$。一对交换的 Hilbert 空间算子 $(S,P)$ 被称为 $\Gamma$-收缩，如果闭对称化双圆盘 $$\Gamma=\{ (z_1+z_2,z_1z_2)\,:\, |z_1|, \, |z_2| \leq 1 \}$$ 是 $(S,P)$ 的谱集。一个 $\Gamma$-收缩 $(S,P)$ 被称为 $\Gamma$-可辨的，如果对于某个多项式 $q\in \mathbb C[z_1,z_2]$，有 $q(S,P)=0$，且其零集 $Z(q)$ 在对称化双圆盘 $\mathbb G_2$ 中给出一个可辨簇。我们找到了环形收缩对膨胀为环形等距对充要条件。基于同样思路，我们刻画了所有可膨胀为 $\Gamma$-可辨 $\Gamma$-等距的 $\Gamma$-可辨 $\Gamma$-收缩。确定了 $\mathbb D^2$ 与 $\mathbb G_2$ 中可辨簇的可辨边界。文中在相应处给出例子以展示环形收缩理论与 $\Gamma$-可辨 $\Gamma$-收缩理论之间的对比。