对称化三圆盘上的有理扩张：失败、成功与未知

闭对称化三圆盘 $\Gamma_3$ 及其 distinguished boundary $b\Gamma_3$ 定义为集合 $\Gamma_3=\{ (z_1+z_2+z_3,z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1,z_1z_2z_3): \,|z_i|\leq 1, i=1,2,3 \}\subseteq \mathbb C^3$ 和 $b\Gamma_3=\{ (z_1+z_2+z_3,z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1,z_1z_2z_3): \,|z_i|= 1, i=1,2,3 \}\subseteq \Gamma_3.$ 定义在 Hilbert 空间 $\mathcal H$ 上且以 $\Gamma_3$ 为谱集的一对交换算子三元组 $(S_1,S_2,P)$ 称为 $\Gamma_3$-压缩算子。在本文中，我们通过反例表明存在无法扩张的 $\Gamma_3$-压缩算子。同时也证明了在某些条件下，$\Gamma_3$-压缩算子可以具有正规 $b\Gamma_3$ 扩张。我们确定了几类可扩张的 $\Gamma_3$-压缩算子，并展示了其扩张的显式构造。为可扩张的 $\Gamma_3$-压缩算子提供了一个具体的函数模型。获得了 $\Gamma_3$-酉算子和 $\Gamma_3$-等距算子的多种刻画；$\Gamma_3$-酉算子和 $\Gamma_3$-等距算子类类似于单变量算子理论中的酉算子和等距算子。此外，我们还找到了纯 $\Gamma_3$-等距算子类的模型。在此过程中，我们研究了集合 $\Gamma_3$ 和 $b\Gamma_3$ 的几何性质，并提供了它们的各种刻画。