四块域上有理扩张的失效

我们通过反例展示了有理扩张在四块域 (tetrablock) 上的失效，该域是 $\mathbb C^3$ 中一个多项式凸但非凸的区域，定义为 $$\mathbb E = \{ (x_1,x_2,x_3)\in\mathbb C^3\,:\, 1-zx_1-wx_2+zwx_3\neq 0 \textup{ whenever } |z|\leq 1, |w|\leq 1 \}.$$ 若算子交换三元组 $(T_1,T_2,T_3)$ 使得闭四块域 $\overline{\mathbb E}$ 为其谱集，则称其为 $\mathbb E$-压缩算子。对于 $\mathbb E$-压缩算子 $(T_1,T_2,T_3)$，两个算子方程 $$T_1-T_2^*T_3=D_{T_3}X_1D_{T_3} \textup{ and } T_2-T_1^*T_3= D_{T_3}X_2D_{T_3}, \quad D_{T_3}=(I-T_3^*T_3)^{\frac{1}{2}},$$ 在 $\mathcal D_{T_3}=\overline{Ran} D_{T_3}$ 上具有唯一解 $A_1,A_2$，它们被称为 $(T_1,T_2,T_3)$ 的基本算子。对于某一类特定的 $\mathbb E$-压缩算子，我们证明了有理扩张存在的必要条件是相应的基本算子 $A_1,A_2$ 满足条件 \begin{equation}\label{abstract} A_1A_2=A_2A_1 \textup{ and } A_1^*A_1-A_1A_1^*=A_2^*A_2-A_2A_2^*. \end{equation} 随后，我们构造了该类中的一个 $\mathbb E$-压缩算子，其不满足 (\ref{abstract}) 条件。我们为纯 $\mathbb E$-等距算子（一类类似于单变量纯等距算子的 $E$-压缩算子）构建了一个具体的函数模型。基本算子在该模型中起主要作用。