四块域收缩算子的有理膨胀问题的再探讨

Sz.-Nagy的一个经典结果断言，希尔伯特空间收缩算子$T$可以提升为等距算子$V$。这些思想近期受到关注的更一般多变量情形是：(i) 单位圆盘被${\mathbb C}^3$中包含的某个域（称为{\em 四块域（tetrablock）}）所替代，(ii) 收缩算子$T$被具有${\mathbb E}$作为谱集的希尔伯特空间算子交换三元组$(T_1, T_2, T)$（四块域收缩）所替代。该情形的有理膨胀问题是：四块域收缩$(T_1, T_2, T)$能否提升为四块域等距$(V_1, V_2, V)$（一个交换算子元组，可扩展为四块域酉元组$(U_1, U_2, U)$——具有包含在四块域 distinguished boundary 中的联合谱的交换正规算子元组）。我们讨论四块域收缩具有四块域等距提升的必要条件。我们给出一个具有四块域等距提升但违反先前认为对此类提升存在必要的条件的四块域收缩的例子。因此，四块域收缩是否总具有四块域等距提升的问题目前似乎尚未解决。