对称化三圆盘中的算子理论与特殊簇的表示

我们证明对称化三圆盘 $\mathbb G_3$ 中的每个特殊簇都是一维的，并且可以表示为 \begin{equation}\label{eqn:1} \Lambda=\{ (s_1,s_2,p)\in \mathbb G_3 \,:\, (s_1,s_2) \in \sigma_T(F_1^*+pF_2\,,\, F_2^*+pF_1) \}, \end{equation} 其中 $F_1,F_2$ 是满足 $[F_1^*,F_1]=[F_2^*,F_2]$ 及一个范数条件的同阶交换方阵。其逆亦成立，即，形如 (\ref{eqn:1}) 的集合始终是 $\mathbb G_3$ 中的特殊簇。我们证明，对于以 $\Gamma_3$ 为谱集的交换算子三元组 $\Sigma = (S_1,S_2,P)$，存在一个依赖于 $\Sigma$ 的 $\Gamma_3$ 的一维子簇 $\Lambda_{\Sigma}$，使得 von-Neumann 不等式成立，即，对于任意三元全纯多项式 $f$，只要当 $n\rightarrow \infty$ 时 $P^n\rightarrow 0$ 强成立，便有 $$f(S_1,S_2,P)\leq \sup_{(s_1,s_2,p)\in\Lambda_{\Sigma}}\, |f(s_1,s_2,p)|,$$。已证明簇 $\Lambda_\Sigma$ 具有类似 (\ref{eqn:1}) 的表示，其中 $F_1,F_2$ 是算子方程 \begin{gather*} S_1-S_2^*P=(I-P^*P)^{\frac{1}{2}}X_1(I-P^*P)^{\frac{1}{2}} \text{ and } \\ S_2-S_1^*P=(I-P^*P)^{\frac{1}{2}}X_2(I-P^*P)^{\frac{1}{2}}. \end{gather*} 的唯一解。我们还证明，在一定条件下，$\Lambda_\Sigma$ 是 $\mathbb G_3$ 中的特殊簇。我们为这样的三元组 $(S_1,S_2,P)$ 构造了显式膨胀和具体的函数模型，其中唯一算子 $F_1,F_2$ 起主要作用。此外，我们描述了该理论与对称化双圆盘及单位双圆盘 $\mathbb D^2$ 中特殊簇之间的联系。