对称化三圆盘的自同构与基本算子

对称化多圆盘 $\mathbb G_n$ 的自同构是众所周知的，并在文献 \cite{E:Z} 中以多圆盘的坐标给出。我们找到了 $\mathbb G_n$ 在其自身坐标下的自同构的显式公式。若 $\tau$ 是 $\mathbb G_n$ 的一个自同构，则 $\tau(S_1,\dots,S_{n-1},P)$ 是一个 $\Gamma_n$-压缩，其中 $\Gamma_n$-压缩是一个交换的 Hilbert 空间算子 $n$-元组，且闭对称化多圆盘 $\Gamma_n$ 是其谱集。对应于每一个 $\Gamma_n$-压缩 $(S_1,\dots,S_{n-1},P)$，存在 $n-1$ 个唯一的算子 $A_1,\dots,A_{n-1}$，使得对于 $i=1,\dots, n-1$，有 $$S_i-S_{n-i}^*P=D_PA_iD_P\,, \quad D_P=(I-P^*P)^{1/2}\,。$$ 这个唯一的 $(n-1)$-元组 $(A_1,\dots,A_{n-1})$，在文献中被称为 $(S_1,\dots,S_{n-1},P)$ 的基本算子元组或 $\mathcal F_O$-元组，在 $\Gamma_n$ 上算子理论的每一部分中都扮演着核心角色。我们找到了当 $n=3$ 时 $\tau (S_1,\dots,S_{n-1},P)$ 的 $\mathcal F_O$-元组的显式形式。我们通过一个例子表明，一个 $\Gamma_n$-压缩可能不具有交换的 $\mathcal F_O$-元组。此外，我们得到了两个 $\Gamma_n$-压缩酉等价的一个充要条件。