超对称曲面算子、四流形理论与各维度的不变量

我们继续在[arXiv:0912.4261]中启动的计划，考虑拓扑扭曲的 $N=2$ 纯 $SU(2)$ 规范理论中的超对称曲面算子，并将其应用于四流形及相关不变量的研究。我们将为Ozsvath-Szabo [2,3] 和 Taubes [4] 获得的四流形理论中的各种开创性定理提供优雅的物理论证。特别是，我们将展示Taubes开创性且困难的结果——即普通的Seiberg-Witten不变量实际上是计数嵌入辛四流形 $X$ 中的伪全纯曲线的Gromov不变量——在存在“普通”曲面算子的情况下，仍然可以得出一个简单而具体的物理推导。作为副产品，我们将得到 $X$ 的Gromov不变量与“分岔”Seiberg-Witten不变量之间的几个有趣且数学上新颖的恒等式，在某些情况下，这些恒等式还涉及其三维子流形的瞬子Floer同调和磁单极Floer同调。通过这些恒等式，以及对带边界四流形的“分岔”Donaldson不变量的物理解释，我们将揭示全新的、经济的方法来推导和理解各种重要的数学结果，这些结果涉及：(i) Kronheimer-Mrowka [5] 从“分岔”瞬子得到的纽结同调群；以及 (ii) Kutluhan-Taubes [4,6] 关于辛四流形上的磁单极Floer同调与Seiberg-Witten理论。超对称性，以及其他物理概念如R不变性、电磁对偶性、自发规范对称性破缺和拓扑扭曲量子场论中定位于超对称构型，在我们的故事中扮演着关键角色。