具有周期端点的4-流形上的Seiberg-Witten理论

在本论文中,我们证明了关于具有周期端点的Riemannian、Spin$^c$(4)、4-流形 $(X, g, {\tau})$ 的上同伦Seiberg-Witten理论的分析结果。我们的结果表明,在 $(X, g, {\tau})$ 上的某些技术性假设下,这一新版本是协调的,并为这类新的4-流形导出了Seiberg-Witten型不变量。在第一部分中,利用Taubes关于端周期算子的判据,我们证明了对于满足某些拓扑条件的具有周期端点的Riemannian 4-流形 $(X, g)$,Laplacian $\Delta_+ : L^2_2({\Lambda^2}_+) \rightarrow L^2({\Lambda^2}_+)$ 是一个Fredholm算子。这使我们能够证明 $(X,g)$ 上正权Sobolev 1-形式的Hodge型分解。我们还证明了,假设每个端点上具有非负数量曲率并满足某些技术性拓扑条件,与端周期联络(在无穷远处为ASD)相关的Dirac算子是Fredholm的。在第二部分中,我们建立了de Rham上同调群 $H^{1}_{\mathrm{dR}}(X,i\mathbb{R})$(它是X的拓扑不变量)与上述 $(X,g)$ 上正权1-形式空间的Hodge型分解中出现的调和群之间的同构。我们还证明了两个短正合列,它们关联Seiberg-Witten模问题规范群与上同调群 $H^{1}(X, 2{\pi}i\mathbb{Z})$。在第三部分中,我们证明了主要结果:满足上述条件的具有周期端点的4-流形 $(X,g,{\tau})$ 的Seiberg-Witten映射的强制性与模空间的紧性。最后,利用强制性性质,我们证明了可以定义与 $(X, g, {\tau})$ 相关的Seiberg-Witten型上同伦不变量。