正交 Grassmann 图的自同构与若干测地性质

设 $H$ 为复 Hilbert 空间。考虑正交 Grassmann 图 $\Gamma^{\perp}_{k}(H)$，其顶点为 $H$ 的 $k$ 维子空间（秩为 $k$ 的投影），若两个子空间相容且相邻（对应的秩-$k$ 投影对易且它们的差为秩 $2$ 的算子），则它们在该图中由一条边连接。我们的主要结果如下：若 $\dim H\ne 2k$，则 $\Gamma^{\perp}_{k}(H)$ 的每个自同构均由酉或反酉算子诱导；若 $\dim H=2k\ge 6$，则 $\Gamma^{\perp}_{k}(H)$ 的每个自同构均由酉或反酉算子诱导，或是此类自同构与正交补映射的复合。对于 $\dim H=2k=4$ 的情形该命题不成立。为证明此命题，我们比较了正交 Grassmann 图中长度为二的测地线，并用 Grassmann 图和正交 Grassmann 图中的测地线刻画了相容性（对易性）。最后，我们将此结果推广到与有限秩自伴算子的共轭类相关的广义正交 Grassmann 图。