希尔伯特空间中若尔当曲线的旅行商定理

给定度量空间 $X$，关于 $X$ 的分析师旅行商定理给出了包含任意子集 $E\subseteq X$ 的最短曲线长度与衡量 $E$ “平坦性”的多尺度求和之间的定量关系。第一个此类定理由 Jones 对 $X = \mathbb{R}^2$ 证明，并由 Okikiolu 推广到 $X = \mathbb{R}^n$，而 Schul 对希尔伯特空间 $X = H$ 证明了类似定理。Bishop 此后表明，若考虑若尔当弧，则 Jones 和 Okikiolu 结果给出的定量关系可被 sharpened。本文给出 Schul 原希尔伯特空间旅行商定理必要性一半的完整证明，并给出当限制于若尔当弧时该定理定量关系的 sharpening，类似于 Bishop 前述在 $\mathbb{R}^n$ 中的 sharpening。