近端光滑集中最短曲线的存在性与唯一性

我们研究 Hilbert 空间中近端光滑子集内的最短曲线。考虑 Hilbert 空间中的 $R$-近端光滑集 $A$ 以及满足 $\left|{a-b}\right| < 2R$ 的点 $a$ 与 $b$。我们给出一个在 $A$ 内构造连接 $a$ 与 $b$ 的曲线的简单几何算法，其长度至多为 $2R \arcsin\frac{\left|{a-b}\right|}{2R}$，这对应于模型空间——过 $a$ 与 $b$ 的半径为 $R$ 的欧氏球——内的最短曲线。利用该构造，我们证明 $A$ 内存在唯一一条连接 $a$ 与 $b$ 的最短曲线。该结果是紧的，因为 $A$ 中距离为 $2R$ 的两点未必在 $A$ 中连通；长度上界无法改进，因为在半径为 $R$ 的欧氏球上取到等号。