基于有限差分与数值积分的曲线长度能量最小化

我们考虑在光滑黎曼度量端owers $\mathbb{R}^D$ 上的闭集之间的最短测地线的近似问题。连续问题表述为在连接这两个集合的分段光滑曲线上对能量泛函进行最小化。我们研究通过有限差分结合数值积分得到的离散近似，并通过线性插值从离散最小化器重构连续曲线。我们的主要结果是对梯形规则离散化的直接收敛性分析。我们证明，线性插值后的离散最小化器的能量收敛于最小能量，重构曲线的平方长度收敛于平方最小长度，收敛率均为 $O(N^{-1/2})$，其中 $N$ 表示子区间数。我们也获得左端点规则对应的重构估计。此外，我们给出一个具体例子，说明直接离散化长度泛函在一般情况下不会收敛到最小长度。