Sobolev曲线空间中的离散测地计算

具有Sobolev度量的曲线riemann测地 manifold是形状空间理论中重要且频繁研究的模型。虽然已提出多种数值方法用于计算测地线，但迄今为止尚无严格的收敛理论。通过对时间Galerkin离散化的巧妙修改，我们成功保留了连续模型的 coercivity 和紧凑性特性，从而能够为测地边界值问题证明收敛性。对于测地初值问题的数值分析，我们能够利用底层连续模型的测地完备性，来控制时间步进近似的误差。事实上，我们发展了一套完善的riemann计算离散化，包含平行运输、共变微分、黎曼曲率张量以及截面曲率——所有这些都是探索曲线空间几何的重要工具。选取的数值实例确认了理论发现，展示了定性行为。为此，我们考虑了一个低维Sobolev曲线子流形，包含显式公式的ground truth共变导数和曲率。