短且直：可微流形上的测地线

机器学习模型发现的流形提供了底层数据的紧凑表示。这些流形上的测地线定义了局部长度最小化曲线并给出了距离的概念，这对于降阶建模、统计推断和插值是关键所在。在本工作中，我们首先分析现有的计算长度最小化测地线的方法。我们发现这些方法不适合获得有效路径，从而也不适合获得测地距离。我们通过利用微分几何的数值工具弥补这些缺陷，这些工具提供了获得保持哈密顿量的测地线的手段。其次，我们提出了一种基于模型的距离场与连续流形上测地流的参数化方法。我们的方法利用了方程（Eikonal equation）的流形感知扩展，消除了近似或离散化的需要。最后，我们开发了一种基于曲率的训练机制，在流形中呈现较大 Ricci 标量值的区域对点进行采样和缩放。这种采样和缩放方法确保我们捕获受更高程度测地偏离影响的流形区域。我们提出的方法提供了在流形上计算有效测地线与测地距离的原则性手段。本工作为可微流形上的潜空间插值、最优控制和距离计算开辟了机会。