实辛 Stiefel 与 Grassmann 流形：度量、测地线及应用

实辛 Stiefel 流形是固定维数辛子空间的辛基流形，在物理与工程的众多应用中出现。本工作中，我们研究该流形，旨在提供适用于基础数据处理的理论与基于矩阵的numerical工具。测地线对数据处理至关重要，但迄今未知。我们采用李群方法弥补此空白，推导了关于自然伪黎曼度量与新黎曼度量的可高效计算测地线公式。此外，我们提供了可高效计算且可逆的收缩映射。进而，我们引入实辛 Grassmann 流形，即辛子空间流形。我们再次推导了伪黎曼与黎曼测地线及可逆收缩映射的高效公式。所得发现通过数值实验加以说明，我们考虑在两个流形上通过梯度下降进行优化，并将所提方法与现有最优方法比较。特别地，我们处理了“最近辛矩阵”问题以及通过低秩辛子空间的最优数据表示问题。后一任务关联于寻找“真辛分解”的问题，其在哈密顿系统的保结构模型降阶中十分重要。