辛 Stiefel 流形上的黎曼优化

辛 Stiefel 流形记为 $\mathrm{Sp}(2p,2n)$，是标准辛空间 $\mathbb{R}^{2p}$ 与 $\mathbb{R}^{2n}$ 之间线性辛映射的集合。当 $p=n$ 时，它退化为众所周知的 $2n\times 2n$ 辛矩阵集合。$\mathrm{Sp}(2p,2n)$ 上的优化问题在光学、量子物理、数值线性代数和动力系统模型降阶等诸多领域有应用。本文旨在提出并分析 $\mathrm{Sp}(2p,2n)$ 上的梯度下降法，其中梯度概念源于黎曼度量。我们考虑 $\mathrm{Sp}(2p,2n)$ 上一种类似于（标准）Stiefel 流形典范度量的新颖黎曼度量。为沿反梯度执行可行步，我们发展了两类搜索策略：一类基于拟测地线曲线，另一类基于辛 Cayley 变换。所得到的优化算法被证明全局收敛至目标函数的临界点。数值实验说明了所提方法的效率。