欧氏空间任意子集的锥点与抛物面点

本文刻画了欧氏空间任意子集的锥点。给定 $E \subset \mathbb{R}^n$，$x \in E$ 是 $E$ 的锥点当且仅当 \begin{align*} \int_{0}^1 \beta_{E}^{d,2}(B(x,r))^2 \frac{dr}{r} < \infty, \end{align*} 至多在一个零 $d$-测度集上不成立。系数 $\beta_E^{d,2}$ 是 Jones 系数的一种变体。这是 Bishop 与 Jones 1994 年定理的高维对应。我们还证明了关于 $\alpha$-抛物面点的类似结果，后者是锥点在 $C^{1,\alpha}$ 可整流性意义上的对应：$x \in E$ 是 $\alpha$-抛物面点当且仅当 \begin{align*} \int_0^1 \frac{\overline{\beta}_{E}^{d,2}(B(x,r))^2}{r^{2\alpha}} \, \frac{dr}{r} < \infty \end{align*} 至多在一个零 $d$-测度集上不成立。此处 $\overline{\beta}^{d,2}_E$ 是 Jones 系数的另一变体，由 Azzam 与 Schul 引入。