锥的圆心方向几何

Behling 等人证明了有限生成多面锥 $\KK\subset\RR^n$ 的圆心方向 $d$ 允许在极锥 $\Kpolar$ 内嵌一个半径为 $\norm{d}^2$ 的欧几里得球。我们在多个方面校 sharp 了这一结果。可接受扰动的确切集合是一个多面体，严格大于极球在生成元之外且沿 $\Kpolar$ 无界。从中我们读出 $\norm{d}^2$ 的闭式表达式，涉及锥基的逆 Gram 矩阵，包含两侧谱边界，并包含关联生成元与轴 $-d/\norm{d}$ 的角度恒等式 $\norm{d}=\cos\theta$。该内接球估计可推广到满足一个几何条件的闭凸锥：归一化极端截面 $E_\KK$ 的仿射壳避免原点。此时可接受集合是由 $E_\KK$ 指数的半空间交而成，内接球在 $\norm{d}^2\,\closu E_\KK$ 上触及其边界。Jordan 框架论证验证了每个简单对称锥的假设，并给出 $\norm{d}^2=1/r$ 其中 Jordan 秩 $r$；相同值 $1/n$ 出现在双非负锥中；直积情况遵循并联电阻规则 $1/\norm{d}^2=\sum_\ell 1/\norm{d_\ell}^2$；$p$-锥于 $p\ne 2$ 提供干净的阻碍。我们以 $L_\infty$-球约束下最小二乘和二阶锥规划的最大步长公式收尾，推导了在内 Slater 条件恰好为 Mangasarian--Fromovitz 时的分段光滑版本，以及覆盖马哈努里夫斯距离实例和镜像下降步长的 Bregman 类比。