Blaschke滚球定理的离散推广
微分几何
2009-03-30 v1 经典分析与常微分方程
度量几何
摘要
滚球定理断言，给定欧几里得空间中的凸体 K，且具有光滑表面 bd(K)，在所有边界点处所有主曲率均不超过 c>0，则 K 必然具有如下性质：对于每个边界点，存在一个半径为 r=1/c 的球 B_r，完全包含在 K 中并在 K 的内部于给定的边界点处与 bd(K) 相切。在本文中，我们证明了该结果在平面上的离散类比。我们考虑对曲率的某种离散条件，即对于任意满足 |x-y|<t 的边界点 x, y，在 x 和 y 处的任意单位外法线之间的夹角不超过给定角度 s。然后我们构造一个相应的体 M(t,s)，其完全位于 K 内同时包含给定的边界点 x。在2维中，M 几乎是一个正 n 边形，并且该结果在极限情况下能够恢复 Blaschke 滚球定理的精确形式。类似地，我们考虑了确保某些外切多边形的对偶型离散 Blaschke 定理。在极限情况下，该离散定理使我们能够为 Strantzen 的一个强结果提供一种新证明，该结果仅假设曲率几乎处处存在及其下界估计。
引用
@article{arxiv.0903.4815,
title = {A discrete extension of the Blaschke Rolling Ball Theorem},
author = {Sz. Gy. Re've'sz},
journal= {arXiv preprint arXiv:0903.4815},
year = {2009}
}