定宽体的典型曲率行为

众所周知，在 Baire 范畴意义下典型的 $n$ 维凸体表现出一种简单但高度反直觉的曲率行为：在测度意义下的几乎所有边界点上，所有曲率均为零，但也存在一个稠密且不可数的边界点集，其上所有曲率均为无穷大。本文旨在为给定定宽的典型凸体找到这种现象的对应情况。此类凸体不可能具有零曲率。主要结果表明，对于典型的定宽为 $1$ 的 $n$ 维凸体（不失一般性），在测度意义下的几乎所有边界点上，所有曲率均等于 $1$。（相比之下，请注意宽度为 $1$ 的球体半径为 $1/2$，因此其所有曲率均等于 $2$。）由于定宽性质关于 Minkowski 加法是线性的，证明需要借助线性曲率概念，而这由曲率切向半径提供。