常曲率空间中的球体刻画

High 证明了如下定理：若一个平面凸体的任意两个全等副本的交集均为中心对称，则该凸体是一个圆。本文在一定的正则性假设下，将 High 的定理推广到球面、欧氏和双曲空间。假设在这些空间中存在一对具有内点的 $C^2_+$ 类闭凸集（不同于整个空间），且这些集合的任意全等副本的交集（只要具有非空内部）都是中心对称的，那么我们的集合是全等的球体。在相同假设下，若我们仅要求小交集具有中心对称性，则我们的集合要么是全等的球体，要么是抛物体，要么其边界的连通分支为全等的超球面（且其逆命题也成立）。在相同假设下，若我们要求所有紧交集具有中心对称性，则要么我们的集合是全等的球体或抛物体，要么其边界的连通分支为全等的超球面，并且要么 $d \ge 3$，要么 $d=2$ 且其中一个集合由一条超循环界定，或者两个集合都是直线的全等平行域，或者不存在比由两条有限超循环弧所界定的交集更紧的交集（且其逆命题也成立）。我们还证明了一个对偶定理：若在这些空间中存在一对光滑闭凸集，使得两者在其任意边界点处都具有支撑球面（对于 $S^d$ 半径小于 $\pi/2$），且这些集合的任意全等副本的闭凸包都是中心对称的，那么我们的集合是全等的球体。