球体的对称化

我们研究了在由单位欧几里得球交集构成的类 $\mathcal S_n$ 中的球体 (即单位欧几里得球的可和或等价地，单位球的可和，或通过 $c$-二元性 $A\mapsto A^c$ 的 $c$-凸集) 中的对称化程序。我们首先检讨通过将通常的凸包替换为 $c$-包 $A^{cc}$ 获得的线性参数系统，得出关于这些 $c$-路径上体积的结论。特别是，我们在特殊情况下以及二维中获得凸性结果，并通过例子表明在一般情况下对于 $n\ge 3$ 这种凸性失败。随后我们聚焦于 Steiner 对称化。我们证明了 Steiner 对称化会增加“双体积”，并且在平面情况下，球体的 Steiner 对称像仍然属于球体。在此基础上，我们提供了一个明确的 $\mathbb{R}^3$ 中的例子，表明球体的 Steiner 对称像不必属于 $\mathcal S_n$，并指出存在具有任意大曲率的此类反例。