球体的深入研究

本文研究 ${\mathbb R}^n$ 中的所谓“球体”类的问题，这些问题由欧几里得单位球的平行体交集（或等价地，欧几里得球的求和元）给出。我们随同在其上的自然二元性算子一起研究该类。该类自然与许多有趣的凸几何问题相关，包括常宽度体和 Knesser-Poulsen 猜想。我们讨论该类中的旧式和新的等面积不等式及 Santal{\'o} 类型的不等式。我们研究该类中身体的边界结构、Carath{\'e}odory 类型定理和曲率关系。我们讨论与该类相关的各种对称化，并就常宽度体的问题作出一些初步探索。