Nakajima问题：常宽度与常亮度的凸体

对于凸体 $K\subset\R^n$，$K$ 的第 $k$ 投影函数将 $\R^n$ 的任一 $k$ 维线性子空间映射到 $K$ 到该子空间的正交投影的 $k$ 维体积。设 $K$ 和 $K_0$ 为 $\R^n$ 中的凸体，且 $K_0$ 中心对称并满足弱正则性与曲率条件（包括所有边界 $\f K_0$ 为 $C^2$ 类且曲率半径为正的 $K_0$）。假设 $K$ 与 $K_0$ 有成比例的第 1 投影函数（即宽度函数）和成比例的第 $k$ 投影函数。对 $2\le k<(n+1)/2$ 以及 $k=3, n=5$，我们证明 $K$ 与 $K_0$ 位似。在 $K_0$ 为欧氏球的特例中，我们由此得到欧氏球作为常宽度与常 $k$ 亮度的凸体的刻画。