凸体的非中心截面

我们研究由 Barker 和 Larman 提出的以下开放问题。设 $K$ 和 $L$ 为 $\mathbb R^n$ ($n\ge 2$) 中在其内部包含一个欧氏球 $B$ 的凸体。如果对于每一个支撑 $B$ 的超平面 $H$，都有 $\mathrm{vol}_{n-1}(K\cap H) = \mathrm{vol}_{n-1}(L\cap H)$，是否能推出 $K=L$？我们讨论了该问题的各种变形。特别地，我们证明了在 $\mathbb R^2$ 中，如果上述条件对两个互不包含的圆盘成立，则答案是肯定的。我们还研究了一些高维的类似情形。