平面和常曲率空间中的球体特征 Characterization I

设我们在S^2、R^2或H^2中具有一对凸体（对于S^2不同于S^2），使得它们的任何一组同距复制的交集都是中心对称的。则这些凸体是同距的圆。若这些交集是轴对称的，则这些凸体是圆。设我们在S^2、R^2或H^2中具有一对proper闭凸子集K,L，具有内部点，且其边界连通分量的个数为有限个。如果K和L的任何一组同距复制的交集是中心对称的，则K和L是同距的圆，或对于R^2，平行条状块。我们描述了所有这样的子集K,L，其任何一组同距复制的交集具有轴对称性。对于S^2、R^2和H^2，分别存在1、5和9种情况。设我们在S^d、R^d或H^d中具有一对proper闭凸C^2_+子集K,L，具有内部点，使得所有足够小的同距复制的交集关于特定超平面对称。则K和L的边界组件必为同距的，且每个边界组件都是球体、准球体或球面。设我们在S^d、R^d或H^d中具有一对凸体，其在每个边界点都有支撑球，对于S^d半径小于$\pi/2$。若这些凸体的任何一组同距复制的并的凸包是中心对称的，则这些凸体是同距的球体，对于S^d半径小于$\pi/2$。关于关于特定超平面的对称性也存在类似的论断。对于d=2，假设存在上述支撑圆，对于S^2半径小于$\pi/2$，且K和L平滑。若假设所有上述凸包轴对称，则这些凸体是圆，对于S^2半径小于$\pi/2$。