约翰椭球体的旋转体

寻找给定凸体 $K \subset \mathbb{R}^d$ 中最大欧几里得球和寻找 $K$ 中最大体积椭球体是两个根本性不同的问题。前者是纯粹的欧几里得问题，我们考虑以原点为中心的闭单位球的缩放副本；而后者的问题在于在所有仿射副本中寻找单位球。本文通过考虑旋转椭球体在这两个经典问题之间进行插值。更一般地，我们研究一对凸体 $K$ 和 $L$，并在满足 certain restrictions on the allowed affine transformations 的情况下，寻求包含于 $L$ 中 $K$ 的最大体积仿射像。我们推导了必要的第一阶条件，将已知条件从无限制的仿射设置推广而来。利用这些条件，我们表明，沿其旋转轴的约束椭球体 exhibits properties analogous to those of either the largest-volume ellipsoid or the largest Euclidean ball, depending on whether the ellipsoid is considered along its axis of revolution or along the orthogonal complement of that axis.