对数凹函数对的泛函 John 与 Löwner 条件

John 关于凸体 $K \subset \mathbb{R}^d$ 中所含最大体积椭球的奠基性定理已有若干推广与扩展。一个由 V. Milman 开创的方向是用另一凸体 $L$ 的位置(仿射像)替代椭球。另一个较新的方向是考虑 $\mathbb{R}^d$ 上的对数凹函数而非凸体:我们指定某个特殊的径向对称对数凹函数 $g$ 作为欧氏球的类比,并希望在其逐点低于给定对数凹函数 $f$ 的约束下找到其最大积分位置。我们同时沿两个方向推进:考虑泛函问题,并允许本质上任意有意义的函数扮演上述 $g$ 的角色。我们的通用定理联合推广了这两个方向上的已知结果。凸体情形下的对偶问题寻求包含 $K$ 的最小体积椭球,称为 \emph{Löwner 椭球}。我们考虑函数的类似问题:刻画在逐点高于 $f$ 的约束下寻找某对数凹函数 $g$ 的最小积分位置的优化问题的解。结果表明,在泛函情形下,John 问题与 Löwner 问题之间的关系比凸体情形更为复杂。