凸体仿射最优位置的 John 类型分解

许多经典的凸几何问题可表述为特定包含条件下的优化问题。最为人熟知的例子是位于其他凸体内部的最大化凸体体积，其中 John 分解——在欧几里得情形下完全刻画了——描述了最优位置。然而，对于许多其他此类问题，尚无通用的最优性条件。为此，我们推广了 O. B. Ader 的方法，以获得用于仿射最优包含链 $r L_1 + c \subseteq K \subseteq R L_2 + d$（其中 $K, L_1, L_2 \subseteq \mathbb{R}^n$ 为凸体，$c,d \in \mathbb{R}^n$ 为平移向量，$r,R > 0$ 为实数，且比值 $\frac{R}{r}$ 不能通过线性变换 $K$ 而降低）的 John 类型分解作为必要条件。我们再次在椭球体参与时获得充分性，并展示了各种问题的最优性条件如何从 our 结果中推导得出。我们的主要应用涉及 Banach-Mazur 距离，我们提供了一般情况下的必要最优性条件，并在欧几里得情形下给出完整刻画。最后，我们推导了若干与 Banach-Mazur 距离到欧几里得球的若干后果。