论凸体相对于其第二投影体的形状

我们证明了关于寻找仿射不变量 $P(K)=V(\Pi K)/V^{d-1}(K)$ sharp 界的相关结果。具体而言，我们证明：若 $K$ 是体积为 1 的 3 维 zonoid，则其第二投影体 $\Pi^2K$ 包含于 $8K$ 中；而若 $K$ 是任意体积为 1 的对称 3 维凸体，则 $\Pi^2K$ 包含 $6K$。这两个包含关系均是 sharp 的。这些结果的推论包括：作者在先前工作中建立的针对 3 维 zonoid 的更强版本的反向等周不等式、将 3 维 Petty 猜想归约为另一个等周问题，以及迄今为止 3 维情形下 $P(K)$ 的最佳已知下界。作为我们方法的副产品，我们为高维旋转体建立了一个近乎最优的下界。