体积Helly型结果中集合的等距与仿射拷贝

我们证明，对于$\mathbb{R}^d$中任意紧凸集$K$以及$\mathbb{R}^d$中任意有限凸集族$\mathcal{F}$，若$\mathcal{F}$每个足够小的子族的交都包含体积为$1$的$K$的等距拷贝，则整个族的交包含缩放因子为$(1-\varepsilon)$的$K$的等距拷贝，其中$\varepsilon$为正且事先固定。除非$K$与圆盘极为相似，否则该收缩因子不可避免。我们对$K$的仿射拷贝证明了类似结果。我们展示了我们的结果如何蕴含存在随机算法，可近似拟合于给定多面体$P$内的最大$K$拷贝，其期望运行时间在$P$的面数上呈线性。