分段仿射映射的几何与分析特征性质

设 $X$ 和 $Y$ 为有限维赋范空间，$F(X,Y)$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的所有映射的集合。若存在覆盖 $X$ 的有限个凸多面体子集族，使得 $P$ 在该族每个子集上的限制均为仿射映射，则称映射 $P\in F(X,Y)$ 为分段仿射的。本文证明了分段仿射映射的若干刻画。特别地，我们表明：映射 $P: X \to Y$ 是分段仿射的，当且仅当对于由多面体凸锥在 $Y$ 上定义的任意偏序 $\preceq$，$P$ 的 $\preceq$-上图和 $\preceq$-下图均可表示为 $X \times Y$ 中有限个凸多面体子集的并。当空间 $Y$ 由极小分配锥排序，或等价地当 $Y$ 为向量格时，赋予标准逐点代数运算和逐点序的集合 $F(X,Y)$ 也是一个向量格。本文证明了分段仿射映射的集合恰好等于 $F(X,Y)$ 中包含所有仿射映射的最小向量子格。此外，我们证明了每个（关于由极小分配锥对 $Y$ 的排序）凸的分段仿射映射均为有限个仿射映射的最小上界。所有凸分段仿射映射的集合是 $F(X,Y)$ 中的一个凸锥，其线性包络等于所有分段仿射映射构成的向量子空间。