凸集的提升与锥分解

在本文中，我们探讨一个基本的几何问题：何时一个给定的凸集是给定闭凸锥的仿射切片在某线性映射下的像。如果该锥对其仿射切片上的线性优化存在高效算法，则凸集的这种表示或“提升”尤为有用。我们证明，凸集到锥的提升的存在性等价于与该集及其极集相关联的算子通过该锥及其对偶锥中的元素进行分解的存在性。这推广了 Yannakakis 的一个定理，该定理建立了多面体的多面体提升与其松弛矩阵的非负分解之间的联系。凸集的对称提升也可以类似地刻画。当锥属于某族时，我们的结果引出了凸集相对于该族的秩的定义。我们在半正定矩阵锥的背景下给出了关于该秩的结果。我们的方法为理解凸集的锥提升提供了新工具。