关于凸体截面的平均体积

中心对称凸体在 ${\mathbb R}^n$ 中的平均截面泛函 ${\rm as}(K)$ 是 $K$ 的中心超平面截面的平均体积：\begin{equation*}{\rm as}(K)=\int_{S^{n-1}}|K\cap \xi^{\perp }|\,d\sigma (\xi ).\end{equation*} 我们研究是否存在绝对常数 $C>0$，使得对于每个 $n$，对于 ${\mathbb R}^n$ 中的每个中心对称凸体 $K$ 以及每个 $0<k<n$，$${\rm as}(K)\ls C^k|K|^{\frac{k}{n}}\,\max_{E\in {\rm Gr}_{n-k}}{\rm as}(K\cap E).$$ 我们观察到 $k=1$ 的情形等价于超平面猜想。我们证明，如果将 $C$ 替换为 $CL_K$ 或 $Cd_{\rm ovr}(K,{\cal{BP}}_k^n)$，则该不等式在完全一般意义下成立，其中 $L_K$ 是 $K$ 的各向同性常数，$d_{\rm ovr}(K,{\cal{BP}}_k^n)$ 是从 $K$ 到广义 $k$-相交体类 ${\cal{BP}}_k^n$ 的外体积比距离。我们还比较了 ${\rm as}(K)$ 与 ${\rm as}(K\cap E)$ 在 $K$ 的所有 $k$-余维截面上的平均值。我们分别考察了当 $K$ 处于某些经典位置时常数对维度的依赖性，以及平均截面泛函在低维下的自然类比。