Liouville 测度在凸组合下的非稳定性

对于每一个非超FC中心的可数阿贝尔群以及每个 $k\geq 2$，我们提供一序列对称、完全支持的概率测度，使得其凸组合若且仅若至少有 $k$ 个测度出现在其中，才为非-Liouville（即存在非常数有界调和函数，等价于泊松边界为非平凡）。特别地，我们的结果表明 Liouville 测度集合在凸组合下不闭合，这回答了 Kaimanovich 的问题。我们还在额外假设所有对称、有限支撑概率测度为 Liouville 的情况下提供了类似结果。这些群是已知唯一的在容许可数群中存在具有有限熵 Liouville 测度的非平凡例子。包括 $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Z}^2$ 上的 lamplighter 群以及 $\mathbb{Z}$ 上有限排列的无限对称群。