圈积上渐近熵的连续性

我们证明了对于圈积 $A \wr B = \bigoplus_B A \rtimes B$ 上具有有限熵的非退化概率测度，渐近熵作为步长分布的函数是连续的，其中 $A$ 是任意可数群，$B$ 是包含至少三次增长率的有限生成子群的可数超 FC 中心群。作为证明上述结论的一个步骤，我们证明了在任意可数群 $G$ 上，对于支撑集生成的半群包含至少三次增长率的有限生成子群的测度 $\mu$，$G$ 上的 $\mu$-随机游走永不返回单位元的概率关于 $\mu$ 是连续的。最后，我们证明了在群 $G$ 上允许可分完全可度量化空间 $X$ 作为其泊松边界模型的随机游走中，$X$ 上相关调和测度的弱连续性蕴含了渐近熵的连续性。该结果恢复了已知情形下渐近熵的连续性，如 Gromov 双曲群和非真双曲群，并将其扩展到了新的群类，包括线性群和作用于 $\mathrm{CAT}(0)$ 空间的群。