有限群上的随机游动与 Frobenius-Schur 定理

我们考虑有限群 $G$ 上的如下随机游动。可将 $G$ 视为一个置换群。随机地（即以概率 $U(g)=|G|^{-1}$）选取一个置换 $g \in G$ 并连续执行两次，即执行置换 $g^2 \in G$。于是群 $G$ 中元素的平方集合承载概率 $P(g)=\frac{r(g)}{|G|}\ (g \in G)$，其中 $r(g)$ 为满足 $h^2 = g$ 的元素 $h \in G$ 的个数。利用著名的 Frobenius-Schur 定理，我们求出 $P$ 的 $n$ 重卷积到均匀概率 $U$ 的收敛速度及收敛条件。