Gamma向量作为逆切比雪夫展开、类型A到B的变换及其与代数结构的联系
摘要
对于给定的偶数次互反/回文多项式，我们证明了Gamma向量本质上由逆切比雪夫多项式基展开给出。一个直接推论是，我们通过互反多项式的实根性来刻画切比雪夫多项式线性组合的实根性，该互反多项式由系数的一个逆缩放元组构建而成，其中一个固定，其余除以2。这可视为Bel-Afia-Meroni-Telen关于Chebyshev曲线关于原点双曲性的最新结果在任意维度的对应物。一般而言，Chebyshev簇在稀疏多项式求根中充当环面簇的对应物。此外，逆切比雪夫展开还揭示了Gamma向量构造的内在性质与单纯复形和偏序集的几何组合学之间的联系。我们通过应用Hetyei关于Tchebyshev剖分和Tchebyshev偏序集的工作来发现这一点。特别地，我们发现Gamma向量变换与由连续边剖分将类型A Coxeter复形变换为类型B Coxeter复形所得到的单纯复形的-向量密切相关。将这一结果提升到-指数的修正，我们证明了Gamma向量的逆切比雪夫多项式展开可以提升为可通过（拓扑）下降统计量计算的叉积剖分之和。尽管存在许多涉及下降统计量的Gamma正性例子，但值得注意的是我们仅假设输入多项式是互反/回文的。最后，第二类切比雪夫多项式通过导数给出了与Hopf代数和拟对称函数的联系，以及由-表示诱导的Lefschetz型映射。
引用
@article{arxiv.2408.07698,
title = {Gamma vectors as inverted Chebyshev expansions, type A to B transformations, and connections to algebraic structures},
author = {Soohyun Park},
journal= {arXiv preprint arXiv:2408.07698},
year = {2025}
}
备注
22 pages. Added context that Chebyshev varieties are counterparts of toric varieties in sparse polynomial root finding. For further context on the linear transformations of spaces of polynomials involved, we mentioned an earlier result that the gamma vector is taken to the first half of the h-vector by a totally nonnegative matrix. Finally, we fixed some typos (e.g. multiplying variables by 2)