关于高维斐波那契数、切比雪夫多项式与向量收敛序列

我们研究高维交错斐波那契序列，其通过切比雪夫型函数和 $m$ 维递推关系生成。对于每个整数 $m$，存在这些序列的有理版本和整数版本，其中有理序列分母底层的素数同余结构使得整数序列得以恢复。从有理或整数序列出发，我们构造 $\mathbb{Q}^m$ 中的向量序列，其收敛到 $\mathbb{R}^m$ 中的无理代数点。有理序列项可表示为简单递推、三角和、二项式多项式、平方和，以及正则有单位 $n$ 边形带符号对角线的幂之比的和。这些序列还展现出“彩虹型”性质，并对应于负指标下的Fleck数，从而导出一些涉及二项式系数的组合恒等式。研究表明，定义所用递推关系的正交生成多项式族可被某些代数数的极小多项式整除，并推导了这些多项式的三项递推和微分方程。还讨论了与克里斯托费尔-达布公式、罗德里格斯公式以及升算子和降算子相关的进一步结果。此外，表明这些多项式的梅林变换满足形如 $p_n(s)=\pm p_n(1-s)$ 的函数方程，并且零点仅位于临界线 Re $s=1/2$ 上。