关于三角多项式的数秘学

本注记源于如下观察：三角多项式各组基之间的各种转换公式可用二项式系数表示。更具体地，我们将切比雪夫矩阵 $T$ 与 $U$ 的元用二项式系数写出。我们指出，切比雪夫矩阵 $T$ 的某些子矩阵之逆对应于三角函数的经典降幂公式。因此 $T^{-1}$ 的元可用二项式系数与 2 的幂表示。切比雪夫矩阵 $U$ 的某些子矩阵之逆出现在涉及加泰罗尼亚三角形的降幂公式中。我们未在文献中见到它们。作为推论，加泰罗尼亚三角形被解释为相当自然的二项式系数矩阵之逆。我们用 Riordan 数组解释这些矩阵求逆。我们求解积分 $\int _{0}^{2\pi }\cos^{2m}( x)\sin^{2n}( x) dx$，并从 $\cos^{2m}(x)$ 与 $\sin^{2n}( x)$ 的傅里叶展开推导出超几何恒等式。作为推论，我们证明超加泰罗尼亚数为整数。我们强调，从这些三角多项式基变换的视角看，使用 $2\cos(x)$ 与 $2\sin(x)$ 而非 $\cos(x)$ 与 $\sin(x)$ 更为自然，因为转移矩阵在整数上可逆。我们对扩展多项式做了类似分析。这使我们能更精确地表述 Goh 与 Wildberger 的一个猜想。本论述对所述主题给出了基本自洽的说明，所需预备知识仅为四学期的微积分、线性代数、初等复变量与留数定理。