超 Catalan 数的代数解释

我们将任意圆 $C$ 上的多项式积分概念推广到特征为零的一般域 $\mathbb F$ 上的欧几里得几何中，将其视为 $\mathbb{F}\left[\alpha_1, \alpha_2\right]$ 上的一个归一化 $\mathbb F$-线性泛函，该泛函将那些在 $C$ 上取值为零的多项式映为零，并且是 $\mathrm{SO}(2,\mathbb{F})$-不变的。这不仅使我们能够以初等方式建立纯代数积分理论，而且还给出了超 Catalan 数 $$S(m,n) = \frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!}$$ 一种代数解释：将其表示为该代数积分在某个圆上作用于单项式 $\alpha_1^{2m}\alpha_2^{2n}$ 的值。