无穷次可微函数多元积分的超多项式收敛与易处理性

我们研究无穷次可微函数空间 $\mathcal{F}_{s, \boldsymbol{u}} := \{f \in C^\infty [0,1]^s \mid \| f \|_{\mathcal{F}_{s, \boldsymbol{u}}} < \infty \}$ 上的多元积分，其中 $\| f \|_{\mathcal{F}_{s, \boldsymbol{u}}} := \sup_{\boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1, \dots, \alpha_s) \in \mathbb{N}_0^s} \|f^{(\boldsymbol{\alpha})}\|_{L^1}/\prod_{j=1}^s u_j^{\alpha_j}$，$f^{(\boldsymbol{\alpha})} := \frac{\partial^{|\boldsymbol{\alpha}|}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_s^{\alpha_s}}f$ 且 $\boldsymbol{u} = \{u_j\}_{j \geq 1}$ 是递减正权重序列。令 $e(n,s)$ 为 $s$ 元情形下使用 $n$ 个函数值的所有算法的最小最坏情况误差。我们证明对于任意考虑的 $\boldsymbol{u}$ 和 $s$，对所有 $n$ 有 $e(n,s) \leq C(s) \exp(-c(s)(\log{n})^2)$ 成立，其中 $C(s)$ 和 $c(s)$ 为可能依赖于 $s$ 的常数。进一步我们展示若权重 $\boldsymbol{u}$ 衰减得足够快，则存在某个 $1 < p < 2$ 和绝对常数 $C$ 与 $c$ 使得对所有 $s$ 和 $n$ 有 $e(n,s) \leq C \exp(-c(\log{n})^p)$ 成立。这些界由使用数字网络的拟蒙特卡洛积分达到。这些收敛与易处理性结果源于其所嵌入的 Walsh 空间的相应结果。