关于卷积不等式 $f \geq f\star f$

我们考虑 $d$ 维欧几里得空间上实可积函数的不等式 $f \geqslant f\star f$, 其中 $f\star f$ 表示 $f$ 与自身的卷积。我们证明所有此类函数 $f$ 均非负, 而对于任意 $1 < p \leqslant 2$ 的 $L^p$ 空间中的同一不等式(卷积有定义), 情况并非如此。我们还证明所有可积解 $f$ 满足 $\int f(x){\rm d}x \leqslant \tfrac12$。此外, 若 $\int f(x){\rm d}x = \tfrac12$, 则 $f$ 必衰减相当缓慢: $\int |x| f(x){\rm d}x = \infty$, 且这是尖锐的, 因为对所有 $r< 1$, 存在满足 $\int f(x){\rm d}x = \tfrac12$ 且 $\int |x|^r f(x){\rm d}x <\infty$ 的解。然而, 若 $\int f(x){\rm d}x = : a < \tfrac12$, 其在无穷远处的衰减可快得多: 我们证明对所有 $a<\tfrac12$, 存在某些 $\epsilon>0$ 使得 $\int e^{\epsilon|x|}f(x){\rm d}x < \infty$ 的解。