一个卷积不等式极值函数的光滑性

设 $d\ge 2$，$T$ 为卷积算子 $Tf(x)=\int_{\reals^{d-1}} f(x'-t,x_d-|t|^2)\,dt$，该算子从 $L^{(d+1)/d}(\reals^d)$ 到 $L^{d+1}(\reals^d)$ 有界。我们证明，泛函 $\norm{Tf}_{d+1}/\norm{f}_{(d+1)/d}$ 的任意临界点 $f\in L^{(d+1)/d}$ 是无穷可微的，并且对某个 $\delta>0$ 有 $|x|^\delta f\in L^{(d+1)/d}$。特别地，这对相关不等式的所有极值函数都成立。这是通过利用广义欧拉-拉格朗日方程以及 $T$ 的某些加权范数不等式来实现的。