球面上受限型卷积方程解的光滑性

设 $\mathbb{S}^{d-1}$ 表示欧几里得空间 $\mathbb{R}^d$（$d\geq 2$）中的单位球面，配备曲面测度 $\sigma_{d-1}$。我们主要结果的一个实例涉及卷积方程 $$a\cdot(f\sigma_{d-1})^{\ast {(q-1)}}\big\vert_{\mathbb{S}^{d-1}}=f,\text{ a.e. on }\mathbb{S}^{d-1},$$ 解的正则性，其中 $a\in C^\infty(\mathbb{S}^{d-1})$，$q\geq 2(d+1)/(d-1)$ 为整数，且唯一的先验假设为 $f\in L^2(\mathbb{S}^{d-1})$。我们证明任意此类解均属于 $C^\infty(\mathbb{S}^{d-1})$ 类。特别地，我们证明与 $\mathbb{S}^{d-1}$ 上相应伴随 Fourier 限制不等式的尖锐形式相关的所有临界点均为 $C^\infty$ 光滑的。这将 Christ & Shao 的先前工作推广到任意维数与一般偶指数，并在一篇配套论文中发挥关键作用。