基于水平集拓扑的光滑刚性与 Remez 不等式

光滑刚性不等式为光滑函数 $f$ 的 $(d+1)$ 阶导数提供显式下界，当 $f$ 展现出次数为 $d$ 的多项式所禁止的某些模式时该下界成立。本文的主要目标有双重：首先，我们概述奇点理论、逼近论与 Whitney 光滑扩张中近期获得的一些与光滑刚性相关的近期结果与问题。其次，我们证明一些新结果，具体而言，一个新的 Remez 型不等式，并基于此获得一个新的刚性不等式。在本文的两个部分中，我们均强调以水平集的拓扑作为输入信息。以下是本文的主要新结果：\smallskip 设 $B^n$ 为单位 $n$ 维球。对给定整数 $d$，令 $Z\subset B^n$ 为具有 $N=(d-1)^n+1$ 个连通分支 $Z_j$ 的光滑紧超曲面。令 $\mu_j$ 为 $Z_j$ 内部的 $n$ 维体积，并置 $\mu=\min \mu_j, \ j=1,\ldots, N$。则对 ${\mathbb R}^n$ 上每个 $d$ 次多项式 $P$ 有 $$\frac{\max_{B^n}|P|}{\max_{Z}|P|}\le (\frac{4n}{\mu})^d.$$ 作为推论，我们为任意在 $Z$ 上消失而在 $B^n$ 上阶为 $1$ 的光滑函数 $f$ 提供其 $(d+1)$ 阶导数的显式下界（光滑刚性）： $$||f^{(d+1)}||\ge \frac{1}{(d+1)!}(\frac{4n}{\mu})^d.$$ 我们还基于光滑刚性，对 \cite{Ler.Ste} 中结果的一个最简单版本给出了解释。