多环面上与维数无关的离散 Remez 型不等式

考虑 $f:\Omega^n_K \to \mathbf{C}$ 为从阶为 $K$ 的乘法循环群的 $n$ 重乘积到复数域的函数。任何这样的 $f$ 均可通过其 Fourier 展开延拓为多环面 $\mathbf{T}^n$ 上的解析多项式，且此类多项式的集合与 $\mathbf{T}^n$ 上单独次数至多为 $K-1$ 的所有解析多项式的集合相一致。在此设定下，比较 $f$ 在 $\mathbf{T}^n$ 上与在 $\Omega_K^n$ 上的上确界范数是一个自然的问题。我们针对低次多项式证明了如下的\emph{一致范数离散化}结论：若 $f$ 作为解析多项式的次数至多为 $d$，则 $\|f\|_{\mathbf{T}^n}\leq C(d,K)\|f\|_{\Omega_K^n}$，其中 $C(d,K)$ 与维数 $n$ 无关。作为推论，我们给出了循环群乘积上函数的 Bohnenblust--Hille 不等式的一个新证明。我们论证的关键在于 $\Omega_K^n$ 上一类特殊的 Fourier 乘子，当限制于低次多项式时，这类乘子具有与维数无关的 $L^\infty\to L^\infty$ 有界性。该类包含了向低次多项式的 $k$ 次齐次部分的投影，以及粒度更细的投影。